Fogalomtár

A fogalmak gyakorlati összefüggéseit – azt, hogy miként épül fel belőlük egy ajánlás – a Módszertan oldal mutatja be.

Amerikai és törtszorzó (odds formátumok)

A szorzó három elterjedt jelölése ugyanazt az árat fejezi ki. A tört (brit) szorzó a nettó nyereség és a tét aránya, a/b, tizedes alakja 1 + a/b: az 5/2 = 3,50, a 4/6 ≈ 1,67. Az amerikai (moneyline) szorzó pozitív előjellel a 100 egység tétre jutó nettó nyereséget, negatív előjellel a 100 egység nettó nyereséghez szükséges tétet adja meg: +A tizedes alakja 1 + A/100, -A tizedes alakja 1 + 100/A; így +150 = 2,50, -200 = 1,50, az 1,91-es tizedes szorzó pedig ≈ -110. Az implicit valószínűség bármely formából a tizedes szorzó reciprokaként adódik (-110 → 52,4%). A kvantitatív munkában a tizedes forma az egyetlen, amelyben a várható érték, a Kelly-tét és az árrés közvetlenül, előjel- és esetszétválasztás nélkül számítható; az amerikai sportok (NBA, NFL, NHL, MLB) piacai azonban amerikai formátumban jegyeznek, ezért az átváltás a mindennapi elemzés része.

Arbitrázs (arbing)

Egy esemény összes kimenetelére egyidejűleg, különböző fogadóirodáknál megtett fogadás olyan szorzókon, amelyek együttesen – a végeredménytől függetlenül – nyereséget biztosítanak. Feltétele, hogy a kimenetelekre elérhető legjobb szorzók reciprokainak összege 1 alá essen: Σ_i 1/o_i < 1, ahol o_i az i‑edik kimenetelre kapható legmagasabb tizedes szorzó. Az arbitrázs az irodák közötti árkülönbségből, nem előrejelző előnyből fakad; mozgásterét a téthatárok, a szorzók gyors korrekciója és a számlakorlátozások erősen szűkítik. Szolgáltatásunk nem erre a stratégiára épül.

Árrés (margin, overround)

Az a többlet, amellyel egy piac összes kimenetelének implicit valószínűsége meghaladja a 100%-ot – ez a fogadóiroda beépített haszna. Egy 1,91–1,91-es kétesélyes piacon Σ_i 1/o_i = 2 · (1/1,91) ≈ 1,047: a túlárazás (overround) kb. 4,7%, az iroda árrése – a tétekből várhatóan megtartott hányad – pedig 1 - 1/1,047 ≈ 4,5%. A valódi piaci valószínűséget az árrés eltávolításával kapjuk. A legegyszerűbb, arányos módszer minden implicit valószínűséget az összegükkel oszt el: q_i = (1/o_i) / Σ_j 1/o_j; a pontosabb eljárások (például a Shin-modell vagy a hatványmódszer) a kedvenc–esélytelen torzítást is figyelembe veszik.

Ázsiai gólszám (ázsiai over/under)

A gólszámpiac (over/under) vonalgranularitással kiterjesztett változata. Az elszámolás a rendes játékidőben szerzett gólok N összegének és a T vonalnak az eltérésén alapul: a „több” (over) oldal N - T > 0 esetén nyer, N = T esetén a tét visszajár, N - T < 0 esetén veszít; a „kevesebb” (under) oldal kifizetési függvénye ennek előjelfordított tükörképe. Félvonalon (például 2,5) N egész értékűsége miatt a fogadás bináris; egész vonalon (például 2) az N = T esemény semleges; negyedes vonalon (például 2,25) a tét a T ± 0,25 vonalak között fele-fele arányban oszlik meg, ami ötértékű elszámolást eredményez. Az alapmodellben N két független Poisson-változó összege, azaz λ_h + λ_v paraméterű Poisson-eloszlású, ahol λ_h és λ_v a hazai és a vendégcsapat várható gólszáma; a vonal fair szorzója a P(N > T) és a P(N < T) valószínűségből, a tétvisszatérítés valószínűségének kiszűrésével adódik. A két táblázat a „több” és a „kevesebb” oldal elszámolását mutatja 1,5-től 3,5-ig; az azonos cellák eredményei egymás tükörképei.

Ázsiai hendikep

A háromesélyes (1X2) piac kétkimenetelű transzformációja. A megjátszott csapat rendes játékidő végi gólkülönbségéhez (D) a vonal (L) additív korrekcióként adódik, és az elszámolás a D + L előjelén alapul: pozitív érték esetén a fogadás nyer, nulla esetén a tét visszajár (push), negatív érték esetén veszít. A kifizetési struktúrát a vonal granularitása határozza meg. Félvonalon (például -0,5, +1,5) a D + L = 0 esemény nem következhet be, a fogadás tehát tisztán bináris. Egész vonalon (például -1, +2) a D = -L esemény semleges kimenetel. Negyedes vonalon (például -0,75, +1,25) a tét a két szomszédos vonal (L ± 0,25) között egyenlő arányban oszlik meg, így az elszámolási tér ötértékű: nyer, félig nyer, tét visszajár, félig veszít, veszít. Speciális esetként a -0,5 a győzelemre szóló fogadással, a 0 a „döntetlen esetén tét visszajár” (draw no bet), a +0,5 a kettős esély (1X) fogadással ekvivalens; az ellenoldal definíció szerint a -L vonalon áll, így a két oldal együtt a teljes eseményteret lefedi. A vonal fair árazása D diszkrét valószínűség-eloszlásának becslésén nyugszik: független Poisson-folyamatokkal modellezett gólszámok esetén D Skellam-eloszlású, amelyet a gyakorlatban Dixon–Coles-korrekció és kétváltozós modellek pontosítanak. o tizedes szorzónál az egységnyi tétre jutó várható érték EV = (o - 1)·[P(nyer) + ½P(félig nyer)] - P(veszít) - ½P(félig veszít). A táblázat -3-tól +3-ig minden vonal elszámolását rögzíti a végeredmény függvényében.

Bankroll (fogadási tőke)

A kizárólag fogadásra elkülönített, a mindennapi pénzügyektől független tőke. Az egység jellemzően a kezdő bankroll kis, rögzített hányada (tipikusan 1–2%), a Kelly-alapú tétméretezés viszont minden fogadásnál az aktuális bankrollhoz igazítja a tétet. A tét mindkét esetben a bankrollhoz viszonyítva, nem abszolút összegként van meghatározva, így a tétstratégia a tőke nagyságától függetlenül érvényes.

Bayesi frissítés

A valószínűségi becslés következetes felülvizsgálata új információ beérkezésekor. Bayes tétele szerint egy H kimenetel utólagos (poszterior) valószínűsége az E bizonyíték ismeretében arányos az előzetes (prior) valószínűség és a bizonyíték adott kimenetel melletti valószínűségének (likelihood) szorzatával: P(H | E) = P(E | H) · P(H) / P(E), ahol a P(E) nevező minden kimenetelre azonos normáló tényező. A gyakorlatban a prior a modell korábbi becslése, a bizonyíték pedig például a kezdés előtt kihirdetett kezdőcsapat – így a becslés nem merevedik meg napokkal a mérkőzés előtt.

Binomiális eloszlás

Az n független, azonos p valószínűségű kísérletből bekövetkező sikerek K számának eloszlása: P(K = k) = C(n, k) p^k(1 - p)^n-k, várható értéke np, szórásnégyzete np(1 - p). Fogadási sorozatban ez írja le a nyertes fogadások számát, és ez a találati arány, a mintanagyság és a statisztikai szignifikancia matematikai alapja. Jelentősége a véletlen erejének számszerűsítése: 100 darab 2,00-es szorzójú, pontosan 50% valószínűségű – tehát nulla várható értékű – fogadásnál legalább 55 találat valószínűsége ≈ 18,4%, vagyis nagyjából minden ötödik-hatodik előny nélküli fogadó 100 fogadás után +10%-os vagy jobb ROI-t mutat fel. Rövid sorozat eredményéből ezért előnyre következtetni módszertanilag megalapozatlan; a binomiális eloszlás egzakt próbát ad annak eldöntésére, hogy egy találati arány összeegyeztethető-e a véletlennel.

Bootstrap (újramintavételezés)

Bradley Efron (1979) eljárása, amely egy statisztika bizonytalanságát eloszlásbeli feltevés nélkül, magából a mintából becsli. A megfigyelt n fogadásból visszatevéssel B-szer (jellemzően legalább 10 000-szer) n elemű mintát húzunk, mindegyikre kiszámítjuk a vizsgált mutatót (ROI, CLV, Sharpe-ráta, maximális visszaesés), és a kapott B érték empirikus eloszlásának 2,5. és 97,5. percentilise adja a 95%-os percentilis-intervallumot. 300 darab 2,00-es szorzójú fogadás 159 nyertessel +6% ROI-t jelent; a bootstrap 95%-os intervalluma ≈ -5,3% és +17,3% között van, egyezésben a normális közelítéssel – a nulla tehát bőven az intervallumon belül esik. A módszer valódi ereje ott mutatkozik meg, ahol nincs zárt képlet: vegyes szorzójú sorozatoknál, ferde eloszlású, magas szorzójú portfólióknál, a maximális visszaesés vagy a Sharpe-ráta bizonytalanságánál. Egymással korrelált fogadásoknál (például egy fordulón belül) blokk-bootstrap szükséges, különben az eljárás alábecsli a bizonytalanságot.

Bradley–Terry-modell

Páros összehasonlításokon alapuló erősségmodell, amelyet Bradley és Terry írt le 1952-ben: minden csapathoz pozitív erősségparaméter (π_i) tartozik, és annak valószínűsége, hogy i legyőzi j-t, P(i > j) = π_i/(π_i + π_j). Logaritmikus skálán (θ_i = ln π_i) ez a θ_i - θ_j különbség logisztikus függvénye, így az Élő-pontszám rendszere a modell fokozatosan frissülő becslésének tekinthető: 10-es alapon, 400 pontos skálán P = 1/(1 + 10^-Δ/400), ahol Δ a pontkülönbség. π_i = 3 és π_j = 2 esetén i győzelmének valószínűsége 60%; 200 Élő-pont különbség ≈ 76,0%-ot jelent. A paramétereket a teljes mérkőzéshalmazból maximum likelihood becsléssel kapjuk, ami az eltérő ellenfelek elleni eredményeket is összemérhetővé teszi. A döntetlent kezelő kiterjesztések (Rao–Kupper, Davidson) teszik alkalmassá a labdarúgásra, a pályaelőny pedig a hazai csapat paraméterének szorzójaként építhető be.

Brier-pontszám

Valószínűségi előrejelzések pontozási szabálya: BS = (1/N) Σ_i (p_i - y_i)², ahol p_i az i‑edik előrejelzett valószínűség, y_i a tényleges kimenetel (1, ha az esemény bekövetkezett, 0, ha nem), N pedig az előrejelzések száma. Minél kisebb, annál jobb; a 0 a tökéletes előrejelzés. A logaritmikus veszteséghez hasonlóan szigorúan helyes (strictly proper) szabály, vagyis az őszinte valószínűség-becslést jutalmazza, a magabiztos tévedést azonban jóval enyhébben bünteti: értéke legfeljebb 1, míg a logaritmikus veszteség korlátlanul nő, ahogy a téves előrejelzés a bizonyossághoz közelít.

Csődkockázat (risk of ruin)

Annak valószínűsége, hogy egy tétstratégia a bankrollt egy adott szint alá – végső soron nullára – juttatja, mielőtt a pozitív várható érték érvényesülhetne. A tétmérettel meredeken nő: ugyanaz az előny kis téttel gyakorlatilag csődkockázat nélküli, túl nagy téttel viszont szinte biztos csődhöz vezet. A tétméretezés elsődleges célja ennek kordában tartása.

Dixon–Coles-korrekció

Mark Dixon és Stuart Coles 1997-es modellje nyomán alkalmazott igazítás, amely a független Poisson-modell ismert torzítását javítja: a két csapat gólszáma a valóságban nem teljesen független, az alacsony gólszámú eredmények (különösen a 0–0 és az 1–1) gyakoribbak, mint amit a két eloszlás naiv szorzata jelez. A korrekció egyetlen ρ függőségi paraméterrel kizárólag a négy alacsony gólszámú cellát (0–0, 1–0, 0–1, 1–1) igazítja, a gólszámmátrix többi részét érintetlenül hagyja; a modell emellett a régebbi mérkőzéseket időben exponenciálisan csökkenő súllyal veszi figyelembe.

Dutching (tételosztás)

A tét olyan elosztása több, egymást kizáró kimenetel között, hogy bármelyik bekövetkezése azonos kifizetést adjon. T össztét esetén az i-edik kimenetelre jutó tét s_i = T(1/o_i)/Σ_j(1/o_j), a kifizetés T/Σ_j(1/o_j); a kombinált pozíció tehát egyetlen fogadásként viselkedik, amelynek szorzója 1/Σ_j(1/o_j). Döntetlenre 3,40-es, vendéggyőzelemre 3,60-as szorzón 100 egység össztétből 51,43 és 48,57 egység jut a két kimenetelre; mindkét esetben 174,86 egység a kifizetés, ami 1,7486-os kombinált szorzónak felel meg – ez az X2 kettős esély szintetikus előállítása. A dutching akkor értékes, ha a szorzók a legjobb elérhető árakból – akár különböző irodáktól – állnak össze, és a kombinált szorzó meghaladja a modell szerinti valódi valószínűség reciprokát; önmagában értéket nem teremt, csak a meglévő árelőnyt rendezi egyenletesebb kockázati profilba. Az összes kimenetelre kiterjesztve, ha Σ_j(1/o_j) < 1, az eredmény arbitrázs.

Egység (unit)

A tétméret alapmértéke, jellemzően a bankroll rögzített, kis hányada (1–2%). Az eredmények egységben történő közlése a bankroll nagyságától függetlenné teszi a teljesítmény megítélését: a +10 egység mindenki számára ugyanazt jelenti, a +100 000 Ft nem. Statisztikánkban a nettó eredményt ezért egységben közöljük.

Eloszlás-eltolódás (distribution drift)

Az adatok statisztikai eloszlásának időbeli megváltozása, amely miatt a múltbeli adatokon kalibrált modell észrevétlenül veszít a pontosságából. Kiválthatja szabálymódosítás, a játékvezetés szigorúságának változása, új lebonyolítási rendszer – bármely strukturális törés, amely elmozdítja azt az alapszintet, amelyhez a modellt kalibrálták. Figyelése folyamatos feladat, nem egyszeri ellenőrzés.

Élő fogadás (live, in-play)

Fogadás a mérkőzés közben, a játék állásával folyamatosan változó szorzókon. A piac itt gyorsabban mozog, az árrés jellemzően magasabb, a szorzók felfüggesztése gyakori. Előnyt elsősorban az ad, aki az iroda árfrissítésénél gyorsabban és pontosabban értékeli a találkozó aktuális állapotát.

Élő-pontszám (Elo rating)

Élő Árpád magyar származású fizikus sakkra kidolgozott, azóta számos sportágban alkalmazott erősségi rendszere. Minden mérkőzés után a csapat pontszáma a várt és a tényleges eredmény különbségével arányosan módosul: R′_A = R_A + K · (S - E), ahol S a tényleges eredmény (győzelem 1, döntetlen 0,5, vereség 0), K a frissítés érzékenysége, E = 1 / (1 + 10^{(R_B - R_A)/400}) pedig a várt eredmény, R_A a csapat, R_B az ellenfél pontszáma. Egyszerű, mégis meglepően erős kiinduló modell, különösen kevés adattal rendelkező bajnokságokban.

Előny (edge)

A modell által becsült valószínűség és a piac árréstől megtisztított implicit valószínűsége közötti különbség, százalékpontban: előny = p - q, ahol p a modell szerinti, q az árréstől megtisztított piaci valószínűség. A pozitív előny szükséges, de nem elégséges feltétele a nyereséges fogadásnak: az árrés miatt a ténylegesen elérhető o szorzón mért várható értéknek (p · o - 1) is pozitívnak kell lennie.

Előretekintő validáció (walk-forward validation)

Az időrendet tiszteletben tartó tesztelési eljárás: a modellt egy adott időpontig rendelkezésre álló adatokon tanítjuk, a rákövetkező időszakon teszteljük, majd az ablakot előregördítjük, és megismételjük a folyamatot. A véletlen mintafelosztással szemben kizárja, hogy a modell a jövőből „tanuljon”, ezért a sportadatok idősoros jellegéhez ez a megfelelő validációs forma.

Értékfogadás (value bet)

Olyan fogadás, amelynek szorzója magasabb, mint amit a kimenetel valódi valószínűsége indokolna: p · o > 1, ahol p a kimenetel valószínűsége, o a tizedes szorzó – vagyis a várható érték pozitív. Az érték nem a kimenetel valószínűségéből, hanem a valószínűség és az ár viszonyából fakad: egy favorit győzelmére tett fogadás is lehet értéktelen, egy esélytelenére tett is értékes. Az értékfogadás a hosszú távon nyereséges sportfogadás egyetlen matematikailag megalapozott alapja.

Érvénytelen fogadás (void)

Törölt fogadás, amelynél a tét visszajár – például elhalasztott vagy félbeszakadt mérkőzés esetén, az iroda szabályzata szerint. Kötésben az érvénytelen esemény 1,00-es szorzóval számít, a kötés a többi eseménnyel érvényben marad.

Fair odds (valódi szorzó)

Az árrés nélküli szorzó, amely pontosan megfelel a kimenetel p becsült valószínűségének: o_fair = 1/p. 58,4%-os valószínűségnél 1/0,584 ≈ 1,71. Ha az elérhető szorzó ennél magasabb (o > o_fair), a fogadás pozitív várható értékű.

Fedezés (hedging)

Egy már megtett fogadással ellentétes kimenetelre tett fogadás, amely a lehetséges eredmények szóródását csökkenti – jellemzően egy bizonyos nyereség rögzítése vagy a veszteség korlátozása érdekében. Mivel az ellenfogadás is árrést tartalmaz, a fedezés átlagosan csökkenti a várható értéket, ezért csak akkor indokolt, ha a kockázatcsökkentés értéke ezt meghaladja. Rokon fogalom az irodai kiszállás (cash out), amelynek ajánlatába az árrés közvetlenül be van építve.

Fix tétes stratégia (flat staking)

Tétstratégia, amelyben minden fogadás ugyanakkora – jellemzően egy egység – tétet kap, a becsült előny nagyságától függetlenül. A tőkenövekedés szempontjából kevésbé hatékony, mint a Kelly-kritérium, a valószínűség-becslés hibáival szemben viszont sokkal robusztusabb, és az egyes ajánlások eredményét egymással összehasonlíthatóvá teszi.

Fogadási tőzsde (back és lay)

Olyan piactér (például a Betfair vagy a Smarkets), ahol a fogadók egymással kötnek fogadást, az üzemeltető pedig a nettó nyereségre jutalékot számít fel. A back fogadás egy kimenetel bekövetkezésére, a lay fogadás a be nem következésére szól: a lay oldal az iroda szerepét veszi át, felelőssége (liability) a back tét és a szorzó mínusz egy szorzata. 10 egység lay fogadása 3,00-as szorzón 20 egység felelősséget jelent, a kimenetel elmaradásakor pedig a 10 egység back tét a lay fogadóé. c jutaléknál a back fogadás tényleges szorzója 1 + (o - 1)(1 - c), így 3,00-as szorzón 5%-os jutalékkal 2,90. Az árak a kínálat és a kereslet egyensúlyából alakulnak ki, a legjobb back és lay ár közötti különbség (spread) likvid piacon szűk, ezért a tőzsdei árak az árréstől megtisztított valószínűség legpontosabb piaci becslései közé tartoznak: a professzionális modellek gyakran ezekhez kalibrálnak, és ezekhez mérik a záró szorzóhoz mért értéket. A lay lehetőség teszi lehetővé a fedezést és a kereskedést is: a pozíció a mérkőzés előtt vagy közben ellentétes fogadással lezárható.

Gradiensnövelt döntési fák (gradient boosting)

Gépi tanulási módszer, amely sekély döntési fák sorozatát építi fel úgy, hogy minden új fa azt a hibát tanulja meg, amelyet az addigi együttes még nem magyaráz – ez a függvénytérben végzett gradiens-ereszkedés. Olyan nemlineáris kölcsönhatásokat is képes megtanulni (például a sűrű sorsolás és a hosszú idegenbeli utazás együttes hatását), amelyeket egy log-lineáris modellnek előre meg kellene adni. A fák mélységének korlátozása és a kis tanulási ráta (shrinkage) a túlillesztés elleni regularizáció eszközei.

Győztesre szóló fogadás (moneyline)

Fogadás a mérkőzés győztesére, döntetlen lehetősége nélkül; a magyar irodák kínálatában jellemzően „Győztes” néven szerepel. Az észak-amerikai sportokban (NBA, NFL, NHL, MLB) ez az alapvető fogadási forma, amelybe a hosszabbítás, illetve a szétlövés is beleszámít; az európai háromesélyes (1X2) végeredmény-fogadás kétesélyes megfelelője. Amerikai szorzóformátumban (+150, -120) jegyzik; az A amerikai szorzó tizedes megfelelője pozitív A esetén o = 1 + A/100, negatív A esetén o = 1 + 100/|A|. Így a +150 2,50-nek, a -120 kb. 1,83-nak felel meg.

Hatványmódszer (power method)

Árrés-eltávolítási eljárás, amely az implicit valószínűségeket közös kitevőre emeli: p_i = π_i^k, ahol k > 1 az az egyértelmű érték, amelyre Σπ_i^k = 1. Mivel a hatványozás a kis valószínűségeket arányaiban jobban csökkenti, az árrés nagyobb része az esélytelenebb kimenetelekre esik: a módszer így a kedvenc–esélytelen torzítást egyetlen paraméterrel kezeli, és a valószínűségek mindig a (0, 1) intervallumban maradnak. A 2,10 – 3,40 – 3,60-as piacon k ≈ 1,0461, a valószínűségek 46,02%, 27,80% és 26,18% (az arányos módszerrel 45,43%, 28,06% és 26,50%). Eredménye rendszerint közel áll a Shin-modelléhez, mindkettő a kedvenc felé tolja a becslést; sok kimenetelű piacokon (pontos végeredmény, gólszerző, győztes-piacok) egyszerűbben alkalmazható, mert nem igényel külön piaci modellt.

Időbeli súlyozás (time decay)

Annak módszere, hogy a régebbi mérkőzések kisebb súllyal szerepeljenek a modell becslésében, mert a csapatok ereje a keretváltozások, sérülések és edzőváltások miatt időben változik. A leggyakoribb az exponenciális súlyozás: a t idővel korábbi megfigyelés súlya w(t) = e^-ξt, és a súlyok a log-likelihood tagjait szorozzák. A felezési idő ln 2/ξ: Dixon és Coles eredeti cikkében ξ = 0,0065 félhetes időegységben, ami ≈ 106,6 félhét, vagyis nagyjából 53 hét felezési idő – egy évvel korábbi találkozó súlya ≈ 0,51. A ξ megválasztása a torzítás és a variancia közötti egyensúly: túl kicsi érték elavult információt tart a modellben, túl nagy pedig kevés hatékony megfigyelésre szűkíti a becslést, ami a bizonytalanságot növeli. Az optimális értéket előretekintő validációval, a predikciós pontosság (például a log loss vagy az RPS) optimalizálásával kell meghatározni, sportáganként és piaconként külön.

Implicit valószínűség

A szorzóból közvetlenül levezetett valószínűség, tizedes szorzónál q = 1/o: az 1,91-es szorzó implicit valószínűsége 1/1,91 ≈ 52,4%. Mivel a szorzók árrést tartalmaznak, egy piac összes kimenetelének implicit valószínűsége 100% fölé összegződik; a valódi piaci becslést csak az árrés eltávolítása után kapjuk meg. Piacok és kimenetelek összevetésére ezért jellemzően az árrésmentesített (normalizált) implicit valószínűséget használjuk.

Játékosstatisztikai fogadások (player props)

Egyes játékosok teljesítményére vonatkozó piacok (például pontok, lepattanók, lövések vagy gólpasszok száma), a mérkőzés végeredményétől függetlenül. Gyakran kevésbé hatékonyak, mint a főpiacok, a téthatárok azonban alacsonyabbak, az árrés magasabb, és a játékidő bizonytalansága (rotáció, sérülés, idő előtt eldőlt találkozó) jelentős kockázati tényező.

Kalibráció

Egy modell akkor jól kalibrált, ha az általa adott valószínűségek nagy mintán a tényleges gyakoriságokkal egyeznek: a 60%-os becslések kb. 60%-ban teljesülnek, nem 80 vagy 40%-ban. Valószínűségi modellt nem az egyes tippek találata, hanem a kalibráció és a pontozási szabályokon (logaritmikus veszteség, Brier-pontszám) mért teljesítmény alapján lehet megítélni. Ellenőrzésének szemléletes eszköze a kalibrációs görbe (reliability diagram).

Kedvenc–esélytelen torzítás (favourite–longshot bias)

Empirikusan jól dokumentált jelenség: a nagy szorzójú, esélytelen kimenetelek szorzója rendszeresen rosszabb, mint amit valódi valószínűségük indokolna, vagyis az árrés aránytalanul nagy része rájuk esik. Ezért az árrés arányos eltávolítása az esélytelenek valószínűségét felülbecsli, és a favoritokét alulbecsli – a pontosabb árrés-eltávolítási módszerek éppen ezt korrigálják.

Kelly-kritérium

John L. Kelly Jr. 1956-os eredménye: az a tétméret, amely hosszú távon a tőke logaritmikus (geometriai) növekedési ütemét maximalizálja. Tizedes szorzóra: f* = (p · o - 1) / (o - 1), ahol f* a bankroll megteendő hányada, p a becsült valószínűség, o a tizedes szorzó; ha p · o ≤ 1, a Kelly-tét nulla, vagyis nincs fogadás. Például p = 0,584 és o = 1,82 esetén f* = 0,0629/0,82 ≈ 7,7%. Mivel a teljes Kelly rendkívül érzékeny a valószínűség-becslés hibáira, és mély visszaeséseket okozhat, a gyakorlatban a töredékét (fél vagy negyed Kellyt) szokás alkalmazni.

Kétváltozós Poisson-modell (bivariate Poisson)

A független Poisson-modell kiterjesztése, amely a két csapat gólszáma közötti pozitív korrelációt is leírja (Karlis és Ntzoufras, 2003). Három független Poisson-változóból (X₁, X₂, X₃; paramétereik λ₁, λ₂, λ₃) a gólszámok X = X₁ + X₃ és Y = X₂ + X₃; a közös komponens adja a kovarianciát, Cov(X, Y) = λ₃, a peremeloszlások várható értéke λ₁ + λ₃, illetve λ₂ + λ₃. A közös komponens a mérkőzés egészére ható tényezőket – tempó, játékvezetés, időjárás, pályaállapot – ragadja meg. λ₁ = 1,5, λ₂ = 1,0, λ₃ = 0,1 mellett, a független modell 1,6 és 1,1 várható gólszámával azonos peremátlagokkal, a korreláció ≈ 0,075, a döntetlen valószínűsége 24,89%-ról 25,98%-ra, a 0–0-é 6,72%-ról 7,43%-ra nő. Az eltérés kicsinek tűnik, de a döntetlen- és az alacsony gólszámú piacokon szisztematikus félreárazást okoz, ha a modell figyelmen kívül hagyja.

Konfidenciaintervallum

A modell pontbecslése körüli tartomány, amely a becslés bizonytalanságát fejezi ki, ahelyett hogy egyetlen valószínűséget pontosként tüntetne fel. A széles intervallum azt jelzi, hogy a módszerek eltérnek, vagy kevés az adat – ez önmagában óvatosságra int, nem pedig átlagolással eltüntetendő zaj. Szigorú értelemben a frekventista módszerek konfidencia-, a bayesiek hihetőségi (kredibilis) intervallumot adnak; a fogalmat itt a mindkettőt lefedő, köznapi értelmében használjuk.

Korreláció

Két kimenetel együttmozgásának mértéke – és a fő oka annak, hogy a kötések ritkán érnek annyit, amennyit első ránézésre ígérnek. Ha ugyanazon a mérkőzésen a „2,5 gól felett” és a „mindkét csapat szerez gólt” kimenetelt kötjük össze, a két esemény pozitívan korrelál, így együttes valószínűségük jóval nagyobb, mint a két valószínűség szorzata. Az irodák ezért az ilyen kombinációkat nem a naiv szorzaton árazzák, vagy nem is engedik összekötni. Formálisan: P(A és B) = P(A) · P(B) csak független A és B események esetén teljesül; pozitív korrelációnál P(A és B) > P(A) · P(B).

Kötés (accumulator)

Több esemény egyetlen szelvényen való összekapcsolása, amely csak akkor nyer, ha minden esemény bejön. Az eredő szorzó az egyes szorzók szorzata, o = o₁ · o₂ · … · o_n – és ugyanígy halmozódik az árrés hatása is. Ha a tippeknek nincs előnyük, négy, egyenként kb. 5%-os túlárazású eseményből álló kötés várható eredménye (1/1,05)⁴ - 1 ≈ -17,7%. Kötést csak egyenként is pozitív várható értékű, egymástól független eseményekből érdemes összeállítani.

Központi határeloszlás-tétel (CLT)

A tétel szerint sok független, azonos eloszlású, véges szórású valószínűségi változó összege – eloszlásuk alakjától függetlenül – közelítőleg normális eloszlású: n tag esetén várható értéke nμ, szórása σ√n. A fogadási eredmény éppen ilyen összeg, így a tétel adja a hosszú távú kimenetel valószínűségi leírását. Egységnyi téttel, 2,00-es szorzón, 52%-os valódi valószínűséggel (+4% várható érték) fogadásonként a várható nyereség 0,04, a szórás 2·√(0,52·0,48) ≈ 0,999 egység; 1000 fogadás után a várható eredmény +40 egység, a szórás ≈ 31,6 egység, a veszteséges zárás valószínűsége pedig Φ(-40/31,6) ≈ 10,3%, ahol Φ a standard normális eloszlásfüggvény. Két következménye alapvető: a várható érték lineárisan, a szórás csak a mintanagyság négyzetgyökével nő, ezért az előny a mintával egyre élesebben elválik a zajtól; kis mintán viszont – különösen magas szorzóknál, ahol az eloszlás erősen ferde – a normális közelítés pontatlan, ilyenkor egzakt binomiális számítás vagy szimuláció szükséges.

Logaritmikus növekedési ráta (growth rate)

A bankroll hosszú távú, fogadásonkénti geometriai növekedési üteme: G(f) = p ln(1 + f(o - 1)) + (1 - p) ln(1 - f), ahol f a bankroll megtett hányada. A nagy számok törvénye miatt n fogadás után a bankroll közelítőleg e^nG-szeresére változik, ezért a hosszú távú vagyont nem a várható érték, hanem G határozza meg; a Kelly-kritérium éppen G maximuma. p = 0,55 és o = 2,00 mellett a Kelly-tét 10% és G = 0,00501, így 1000 fogadás után a bankroll elméletileg kb. 150-szeresére nő (e^5,01 ≈ 149,7). Fél Kellyvel G = 0,00375, ami 1000 fogadás alatt kb. 43-szoros növekedést ad; a kétszeres Kelly-tét (20%) viszont G ≈ -0,00014-et eredményez, vagyis pozitív várható értékű fogadások mellett is hosszú távon csökkenő tőkét. Ez a túlfogadás paradoxona: a túl nagy tét a meglévő előnyt is veszteséggé alakíthatja.

Logaritmikus veszteség (log loss)

Valószínűségi előrejelzések pontozási szabálya: LL = -(1/N) Σ_i [y_i ln p_i + (1 - y_i) ln(1 - p_i)], ahol p_i az i‑edik előrejelzett valószínűség, y_i a tényleges kimenetel (1, ha bekövetkezett, egyébként 0), N az előrejelzések száma. A magabiztos, de téves előrejelzést rendkívül súlyosan bünteti: ha a modell 1%-ot ad egy mégis bekövetkező eseménynek, az egyedi büntetés -ln 0,01 = ln 100 ≈ 4,6. Ezért alkalmasabb valós tétekkel kockáztatott modellek értékelésére, mint a találati arány vagy a Brier-pontszám.

Logisztikus regresszió

Kétkimenetelű események valószínűségének standard modellje: a valószínűség log-esélye (logitja) a magyarázó változók lineáris függvénye, ln(p/(1 - p)) = β₀ + β₁x₁ + …, azaz p = 1/(1 + e^-z), ahol z a lineáris prediktor. A szigmoid transzformáció a prediktort mindig a (0, 1) intervallumba képezi; a paraméterek maximum likelihood becsléssel adódnak. Az együtthatók közvetlenül értelmezhetők: e^β az esélyhányados (odds ratio), vagyis az esély szorzója a változó egységnyi növekedésekor. Ha β₀ = 0,2 (pályaelőny) és β₁ = 0,004 Élő-pontonként, 100 pontos erősségkülönbségnél z = 0,6 és p ≈ 64,6%, a 100 pontos különbség pedig e^0,4 ≈ 1,49-szeresére növeli a győzelem esélyét. Előnye az értelmezhetőség és a jól kalibrált kimenet; korlátja, hogy nemlineáris kölcsönhatásokat csak kézzel megadott tagokon keresztül ír le, ezért modellegyüttesekben gyakran a gradiensnövelt döntési fák mellett szolgál alapmodellként.

Markov-lánc

Sztochasztikus folyamat, amelyben a következő állapot valószínűsége csak a jelenlegi állapottól függ, a korábbi előzményektől nem (Markov-tulajdonság). A sportmodellezésben egy találkozó például állapotok (eredmény, hátralévő idő, labdabirtoklás) sorozataként írható le, ami az élő fogadási árazás és a mérkőzés-szimuláció egyik alapeszköze.

Martingál (tétduplázás)

Progresszív tétemelési rendszer: vesztes fogadás után a tétet megduplázzák, így az első nyerés az addigi összes veszteséget visszahozza, és az eredeti tét nyereségét adja. A rendszer matematikailag nem működik: a martingálelmélet opcionális megállási tétele szerint korlátos tőke és tétkorlát mellett semmilyen tétezési stratégia nem változtatja meg a fogadások várható értékét – negatív várható értékű fogadásokból nem állítható elő pozitív várható értékű sorozat. A rendszer a gyakori kis nyereséget ritka, de katasztrofális veszteségre cseréli: 1 egységes alaptéttel 10 egymást követő vereség 1023 egység összveszteséget jelent, a következő tét pedig már 1024 egység lenne. Egyenlő esélyű fogadásoknál 1000 fogadás alatt legalább egy tízes vesztes sorozat valószínűsége ≈ 38,5%, 52%-os nyerési esélynél is ≈ 28,5%, a fogadóirodák tétkorlátai pedig a stratégiát a gyakorlatban is kizárják. A „martingál” a valószínűségszámításban a tisztességes játékot leíró sztochasztikus folyamat neve is; a tétezési rendszer erről kapta a nevét.

Maximum likelihood becslés (MLE)

A statisztikai modellek paraméterbecslésének standard eljárása: azt a paraméterértéket választja, amely mellett a megfigyelt adatok valószínűsége, a likelihood maximális, θ_ML = arg max Π f(x_i | θ); a gyakorlatban a log-likelihood, Σ ln f(x_i | θ) maximalizálásával. Poisson-modellben egy csapat gólvárható értékének ML-becslése a mérkőzésenkénti gólátlag: ha 10 találkozón 16 gólt szerzett, λ_ML = 1,6, standard hibája √(λ/n) = 0,4, a 95%-os konfidenciaintervallum nagyjából 0,82 és 2,38 közé esik – tíz forduló után a becslés tehát még rendkívül bizonytalan. A Dixon–Coles-modell és a gólalapú csapaterősség-modellek valamennyi csapat támadó- és védekezőparaméterét, valamint a pályaelőnyt egyetlen közös, időben súlyozott likelihoodban becslik. Az ML-becslés nagy mintán konzisztens, aszimptotikusan torzítatlan, hatásos és normális eloszlású; kis mintán viszont túlilleszt, ezért a gyakorlatban regularizációval vagy bayesi priorral (zsugorítással) kombinálják.

Middle (középre fogadás)

Ugyanarra a piacra, különböző vonalakon tett két ellentétes fogadás – például „2,5 gól felett” és „3,5 gól alatt” –, amelyek mindegyike nyer, ha az eredmény a két vonal közé esik (itt: pontosan 3 gól esetén), minden más esetben pedig az egyik nyer, a másik veszít. Rendszerint szorzómozgás után nyílik rá lehetőség; várható értéke a középső sáv valószínűségétől és a két szorzótól függ.

Mindkét csapat szerez gólt (BTTS)

Piac arra, hogy a mérkőzésen mindkét csapat legalább egy gólt szerez-e, a végeredménytől függetlenül. Közvetlenül a gólszámmátrixból számolható: ha A az az esemény, hogy a hazai csapat nem szerez gólt, B pedig az, hogy a vendégcsapat nem, a szitaformula szerint P(BTTS) = 1 - P(A) - P(B) + P(A és B), ahol P(A és B) a 0–0-s végeredmény valószínűsége. Független Poisson-modellben P(A) = e^-λ_h és P(B) = e^-λ_v, ahol λ_h és λ_v a hazai, illetve a vendégcsapat várható gólszáma.

Mintanagyság

A kiértékelt fogadások száma, amely meghatározza, mennyire bízhatunk egy eredményben. Egy egység tétű fogadás nettó eredményének szórása σ = o √(p(1 - p)); 1,90 körüli szorzóknál (p ≈ 0,53) ez kb. 0,95 egység. n = 500 fogadás után a ROI standard hibája így σ/√n ≈ 4,2 százalékpont, a 95%-os intervallum (±1,96 standard hiba) tehát mintegy ±8,3 százalékpont. Egy +5%-os ROI ekkora mintán még statisztikailag nem különböztethető meg a nullától.

Modell-valószínűség

A modellegyüttes által egy kimenetelhez rendelt, egyeztetett valószínűség, szemben a szorzóból levezetett implicit valószínűséggel. Az előny és a várható érték mindig e kettő összevetéséből adódik; a modell-valószínűség megbízhatóságát a kalibráció mutatja meg.

Modellegyüttes (ensemble)

Több, egymástól független módszer becsléseinek összevonása egyetlen előrejelzéssé. Mivel az egyes modellek hibái csak részben korrelálnak, az együttes jellemzően pontosabb és stabilabb, mint bármelyik tagja. A módszerek közötti éles eltérés maga is információ: a bizonytalanság növekedését jelzi, nem átlagolással eltüntetendő zaj.

Monte-Carlo-szimuláció

Összetett valószínűségi kérdések megválaszolása nagyszámú véletlen kísérlet lefuttatásával. Egy mérkőzést, egy teljes szezont vagy egy fogadási sorozatot több tízezerszer lejátszva a kimenetelek eloszlását közvetlenül becsülhetjük ott is, ahol zárt képlet nem áll rendelkezésre. Tipikus alkalmazása annak vizsgálata, hogy egy megfigyelt eredmény mennyire magyarázható puszta szerencsével egy előny nélküli stratégia mellett.

Nagy számok törvénye

A valószínűségszámítás alaptétele: független, azonos eloszlású kísérletek átlaga a kísérletek számának növelésével a várható értékhez tart. A sportfogadásban ez az oka annak, hogy a pozitív várható érték csak nagy mintán válik láthatóvá: rövid távon a szórás dominál, és egy valódi előny is produkálhat hosszú vesztes sorozatot. A törvény nem „kompenzál”: a múltbeli eltérést nem egyenlíti ki, csak felhígítja – lásd a szerencsejátékos-tévedést.

Nagyközönség pénze (public money)

A kedvtelésből fogadók összesített tétje, amely jellemzően a népszerű csapatokat, a favoritokat és a gólokat részesíti előnyben. Mivel az irodák nemcsak árat alkotnak, hanem a saját kockázatukat is kezelik, a tömeges, egyirányú pénz a szorzót a valószínűségek által indokolt szinten túl is elmozdíthatja – ami a piac másik oldalán értéket teremthet.

Nettó hozam (net yield)

A nettó nyereség a teljes megforgatott tét (forgalom) százalékában: hozam = (nettó nyereség / összes tét) · 100%. Viszonyítási alapja tehát a forgalom, nem a bankroll: 400 egységnyi forgalom és +18 egységnyi nettó eredmény 4,5%-os hozamot jelent. Statisztikánkban a ROI-t is így, a forgalomhoz mérve számítjuk, ezért nálunk a két mutató azonos. Más forrásokban a ROI-t a befektetett tőkéhez (a bankrollhoz) viszonyítják; ilyen értelmezésben a két szám eltér, amint a tétméret a tőkéhez képest változik – egy közölt százaléknál ezért mindig tisztázni kell, mihez viszonyították.

Normalizálás

Az adatok közös skálára hozása és a szerkezeti torzítások kiszűrése a modellezés előtt. A pályaelőny bajnokságonkénti eltérései, a sorsolás sűrűsége, az utazási távolság, a játékvezetői hajlamok vagy a kezdőcsapatokról szóló hírek figyelembevétele nélkül a nyers számok félrevezetők lehetnek.

Összpontszám- és gólszámpiac (over/under)

Piac arra, hogy a mérkőzésen születő gólok vagy pontok száma egy megadott vonal fölé vagy alá esik-e (például 2,5 gól vagy 218,5 pont). A labdarúgásban a gólszámmátrixból, a kosárlabdában jellemzően a várható tempóból és támadási hatékonyságból becsült pontszámeloszlásból árazható. A félpontos vonal (x,5) kizárja a tétvisszatérítés lehetőségét.

p-érték és z-próba

A p-érték annak a valószínűsége, hogy a nullhipotézis igaz volta esetén – fogadásnál: ha a valódi ROI nulla – a megfigyeltnél legalább ennyire szélsőséges eredmény adódik. A z-próba a megfigyelt átlagot a standard hibájában méri: z = (megfigyelt ROI - 0) / SE, ahol SE = σ/√n, σ pedig az egy fogadásra jutó eredmény szórása. 500 darab 2,00-es szorzójú fogadás 53%-os találati aránnyal +6% ROI-t ad; a szórás 2·√(0,53·0,47) ≈ 0,998, a standard hiba ≈ 0,0446, így z ≈ 1,34, az egyoldali p-érték ≈ 0,09. Az eredmény tehát a szokásos 5%-os szinten nem szignifikáns: előny nélkül nagyjából minden tizenegyedik fogadó érne el legalább ilyen eredményt. A p-érték nem annak a valószínűsége, hogy a stratégia nyereséges, és nem méri az előny nagyságát; többszörös tesztelésnél – sok stratégia, bajnokság vagy paraméter párhuzamos vizsgálatakor – a véletlen „felfedezések” aránya megugrik, ezért korrekció (például Bonferroni-korrekció vagy a hamis felfedezési arány kontrollja) szükséges.

Pályaelőny (home advantage)

A hazai pályán játszó csapat teljesítménytöbblete, amely a szurkolói támogatás, az utazás hiánya, a környezet ismerete és – a kutatások szerint jelentős részben – a játékvezetői döntések torzulásának együttes hatásából ered. A Poisson-alapú modellekben szorzóként jelenik meg: λ_h = exp(μ + γ + α_h - δ_v), ahol γ a pályaelőny paramétere; γ = 0,25 a hazai csapat várható gólszámát e^0,25 ≈ 1,284-szeresére, azaz 28,4%-kal növeli. A hatás nagysága sportáganként, bajnokságonként és időben is változik, hosszú távon csökkenő tendenciát mutat, és a 2020–2021-es, zárt kapus mérkőzések természetes kísérlete igazolta, hogy a nézők jelenléte érdemben hozzájárul. A professzionális modellek ezért nem rögzített, hanem bajnokságonként és időben súlyozva becsült, egyes esetekben csapatspecifikus pályaelőnnyel dolgoznak; ahol a piac a köztudatban élő, de mára túlbecsült pályaelőnyt árazza be, az a vendégcsapat oldalán teremthet értéket.

Piaci hatékonyság

Az a mérték, amennyire a szorzók már tartalmazzák az összes nyilvánosan elérhető információt. Hatékony piacon tartós előnyt csak az érhet el, aki a piaci konszenzusnál jobb információval vagy jobb modellel rendelkezik. A hatékonyság piaconként eltérő: a topligák főpiacai (1X2, ázsiai hendikep) közel hatékonyak, a kisebb bajnokságok és a mellékpiacok (szöglet, lapok, játékosstatisztikák) jóval kevésbé.

Pitagoraszi várakozás (Pythagorean expectation)

Bill James sabermetrikai összefüggése, amely a szerzett (PF) és kapott (PA) pontokból becsli egy csapat várható győzelmi arányát: W = PF^x/(PF^x + PA^x). A kitevő sportáganként a pontszámok szóródásától függ: baseballban ≈ 1,83, jégkorongban ≈ 2, amerikai futballban ≈ 2,37, kosárlabdában – ahol egy találkozón sok pont születik, így a különbség relatív szórása kicsi – 13,9 és 16,5 között. Egy 800 futást szerző és 700-at kapó MLB-csapat várható győzelmi aránya 56,1%, 162 mérkőzésre ≈ 90,8 győzelem; egy mérkőzésenként 115 pontot szerző és 110-et kapó NBA-csapaté x = 14 mellett ≈ 65,1%. Fogadási jelentősége, hogy a pontkülönbség stabilabb, a jövőt jobban előrejelző mutató, mint a győzelem–vereség mérleg: amelynek a tényleges mérlege jelentősen meghaladja a pitagoraszi várakozást (például sok győzelmét minimális különbséggel aratta), az a regresszió az átlag felé elve szerint jellemzően visszaesik – ezt a piac gyakran késve árazza be.

Poisson-regresszió

A gólalapú piacok alapmodellje, amely egy csapat gólszámát Poisson-eloszlással írja le: annak valószínűsége, hogy a csapat λ várható gólszám mellett pontosan k gólt szerez, P(X = k) = e^-λλ^k/k!. A várható gólszámot a csapaterősségek log-lineáris függvényeként becsüljük: ln λ_h = μ + γ + α_h - δ_v, illetve ln λ_v = μ + α_v - δ_h, ahol μ a bajnokság átlagos gólszintje, γ a pályaelőny, α a támadó-, δ a védekezőerő, a h és a v index pedig a hazai, illetve a vendégcsapatot jelöli. A két eloszlásból felépíthető a teljes gólszámmátrix, amelyből bármely gólalapú piac összegzéssel árazható.

Pontos végeredmény (correct score)

Fogadás egy mérkőzés pontos végeredményére (például 2–1), nem a győztesre, egy gólhendikepre vagy egy gólszámvonalra. A legfinomabb felbontású gólalapú piac: a gólszámmátrix egyetlen celláját árazza, amelyet a modell közvetlenül megad. A független Poisson-modellben a 2–1-es hazai győzelem valószínűsége P(X_h = 2, X_v = 1) = (e^-λ_hλ_h²/2!) · (e^-λ_vλ_v), ahol λ_h és λ_v a hazai, illetve a vendégcsapat várható gólszáma; λ_h = 1,6 és λ_v = 1,1 mellett ez ≈ 0,095, a valódi szorzó tehát ≈ 10,6. Mivel az egyes cellák valószínűsége kicsi, ez a piac a legérzékenyebb a modellhibára, különösen az alacsony gólszámú eredményeknél, amelyeket a Dixon–Coles-korrekció igazít ki; a fogadóirodák árrése is itt jellemzően a legmagasabb.

Profi pénz (sharp money)

A tartósan pozitív várható értékkel fogadó, jól informált szereplők pénze. Az irodák árazásukat elsősorban e pénz mozgásához igazítják, a sikeres fogadók számláit pedig gyakran korlátozzák. A korai, profi pénz okozta szorzómozgás rendszerint előrevetíti a záró szorzót – ezért a CLV az előny megbízható mutatója.

Push (tétvisszatérítés)

Fogadás, amely se nem nyer, se nem veszít, mert az eredmény pontosan a vonalra esik – például -1-es ázsiai hendikepnél egygólos győzelem esetén. A tét visszajár, a fogadás gyakorlatilag 1,00-es szorzóval zárul. Egész vonalak árazásakor a push valószínűsége nem hagyható figyelmen kívül.

Ranked Probability Score (RPS)

Rendezett kimenetelű valószínűségi előrejelzések pontozási szabálya (Epstein, 1969), a labdarúgás 1X2 előrejelzéseinek értékelésében a szakirodalmi standard. r rendezett kimenetel esetén RPS = 1/(r - 1) Σ_i=1^r-1(Σ_j≤i(p_j - e_j))², ahol p_j az előrejelzett valószínűség, e_j pedig 1, ha a j-edik kimenetel következett be, egyébként 0; értéke 0 és 1 közé esik, a kisebb a jobb. A kumulált eloszlások összevetése miatt a szabály figyelembe veszi a kimenetelek sorrendjét (hazai győzelem – döntetlen – vendéggyőzelem). Az 55% – 25% – 20%-os előrejelzés RPS-e hazai győzelemnél 0,121, döntetlennél 0,171, vendéggyőzelemnél 0,471, vagyis a „közeli” tévedés enyhébb büntetést kap, mint a „távoli”. A kimenetelekre összegzett Brier-pontszám ugyanezt 0,305, 0,905 és 1,005 értékkel pontozza, a döntetlent és a vendéggyőzelmet tehát alig különbözteti meg. Szigorúan helyes (strictly proper) pontozási szabály: várható értéke akkor minimális, ha az előrejelző a valódi becslését közli.

Regresszió az átlag felé

Statisztikai jelenség: egy szélsőséges mért érték után a következő mérés várhatóan közelebb esik az átlaghoz, mert a szélsőséges eredményben a véletlennek is szerepe volt. A tartósan xG fölött teljesítő csatár vagy a sorozatban kivételesen védő kapus teljesítménye ezért jellemzően visszatér az átlag közelébe. Aki a rövid távú formát valódi képességnek tulajdonítja, szisztematikusan túlárazza azt.

ROI (befektetésarányos megtérülés)

A nettó nyereség és az összes megtett tét hányadosa, százalékban: ROI = (nettó nyereség / összes tét) · 100%. A sportfogadásban hozamnak (yield) is nevezik. Statisztikánkban a nettó eredményt egységben, a megtérülést ROI-ban közöljük, így az eredmények a bankroll nagyságától függetlenül összevethetők. Kis mintán a ROI rendkívül zajos: néhány nagy szorzójú találat is jelentősen eltorzíthatja.

Sharpe-ráta

William F. Sharpe kockázattal korrigált hozammutatója, a többlethozam és a hozam szórásának hányadosa: S = μ/σ. Fogadásnál μ az egységnyi tétre jutó átlagos nyereség (a ROI), σ egy fogadás eredményének szórása; n független fogadásra a mutató √n-nel skálázódik. 2,00-es szorzón +4% ROI és 52%-os találati arány mellett σ ≈ 0,999, a fogadásonkénti Sharpe-ráta ≈ 0,040, évi 1000 fogadásra vetítve ≈ 1,27. A mutató eltérő szorzójú stratégiák összevetését teszi lehetővé: azonos ROI mellett a magas szorzójú stratégia szórása nagyobb, Sharpe-rátája kisebb, és ugyanakkora bizonyossághoz több fogadásra van szüksége. A Sharpe-ráta és a z-statisztika között egyszerű kapcsolat áll fenn, z = S√n, ezért az évesített érték azt is mutatja, mennyire különül el egy év eredménye a véletlentől. Ferde, vastag farkú eloszlásoknál a mutató félrevezető lehet; ilyenkor a lefelé irányuló kockázatot mérő Sortino-ráta vagy a maximális visszaesés kiegészítő mérőszámként szükséges.

Shin-modell

Hyun Song Shin piacmikrostruktúra-modellje (1992–1993) az árrés eltávolítására. Feltevése, hogy a forgalom z hányadát bennfentes információval rendelkező fogadók adják; az iroda ezért az esélytelenebb kimeneteleket, ahol a bennfentes fogadás relatíve nagyobb kárt okoz, aránytalanul nagyobb árréssel terheli. Az implicit valószínűségekből (π_i = 1/o_i, összegük S) a valódi valószínűség p_i = [√(z² + 4(1 - z)π_i²/S) - z] / [2(1 - z)], ahol z az az érték, amelyre Σp_i = 1 (numerikus gyökkereséssel). A 2,10 – 3,40 – 3,60-as 1X2 piacon z ≈ 0,0241, a valószínűségek 45,87%, 27,87% és 26,26%, szemben az arányos módszer 45,43%, 28,06% és 26,50%-ával: a kedvenc valószínűsége nő, az esélyteleneké csökken. Mivel a módszer a kedvenc–esélytelen torzítást modellből vezeti le, empirikus vizsgálatokban az arányos normalizálásnál pontosabb valószínűségeket ad, ezért a várható érték és a CLV számításának professzionális alapértelmezése.

Skellam-eloszlás

Két független, Poisson-eloszlású valószínűségi változó különbségének eloszlása; a gólalapú modellekben a gólkülönbségé. Ha X ~ Poisson(λ_h) és Y ~ Poisson(λ_v), akkor D = X - Y eloszlása P(D = k) = e^-(λ_h+λ_v) (λ_h/λ_v)^k/2 I_|k|(2√(λ_hλ_v)), ahol I_|k| az elsőfajú módosított Bessel-függvény; várható értéke λ_h - λ_v, szórásnégyzete λ_h + λ_v. A háromesélyes piac és az ázsiai hendikep vonalai közvetlenül ebből árazhatók: λ_h = 1,6 és λ_v = 1,1 mellett P(D > 0) ≈ 48,96% (hazai győzelem), P(D = 0) ≈ 24,89% (döntetlen), P(D < 0) ≈ 26,15%, a -1,5-ös hazai hendikephez szükséges, legalább kétgólos hazai győzelem valószínűsége pedig ≈ 25,52%. A függetlenségi feltevés miatt a modell jellemzően alulbecsli a döntetlent és az alacsony gólszámú eredményeket; ezt a Dixon–Coles-korrekció és a kétváltozós Poisson-modell javítja.

Statisztikai szignifikancia

Annak mértéke, hogy egy megfigyelt eredmény mennyire volna valószínűtlen pusztán a véletlen folytán, ha valójában nem létezne előny (nullhipotézis). A p-érték ezt a valószínűséget adja meg; a hagyományos 5%-os küszöb alatti p-érték szignifikánsnak számít. A szignifikancia nem azonos a gyakorlati jelentőséggel, és sok párhuzamosan tesztelt stratégia között véletlenül is akad „szignifikáns” – ez a többszörös összehasonlítás problémája.

Steam (steam move)

Hirtelen, több irodánál szinte egyszerre bekövetkező, erőteljes szorzómozgás, amelyet jellemzően egy jól informált fogadói kör összehangolt, nagy tétjei váltanak ki. Aki a lassabban reagáló irodáknál még a mozgás előtti áron fogad, pozitív CLV-t érhet el – az irodák azonban ezt gyorsan felismerik és korlátozzák.

Számlakorlátozás (limitálás)

A fogadóirodák kockázatkezelési gyakorlata, amellyel a tartósan nyereséges vagy a piacot megelőző ügyfelek maximális tétjét – akár a szokásos limit töredékére – csökkentik, illetve egyes piacokról kizárják őket. A döntést jellemzően nem a nyereség, hanem a fogadások minősége alapján hozzák meg: a záró szorzóhoz mért tartósan pozitív érték, a szorzómozgást megelőző fogadások, a mellékpiacok és az alacsony likviditású bajnokságok célzott használata, valamint a kerek tétek helyett „pontos” összegek mind a profi fogadó ismérvei. A korlátozás a nyerő fogadó számára a jövedelmező kapacitás szűkülését jelenti, ezért a professzionális gyakorlat része az irodák diverzifikálása, a magas limitű, nyerő ügyfeleket is elfogadó irodák és a fogadási tőzsdék használata. A jelenség egyben közvetett bizonyíték a CLV mint előnymérő érvényessége mellett: az irodák maguk is ezt tekintik a tartós előny legmegbízhatóbb jelének.

Szerencsejátékos-tévedés (gambler’s fallacy)

Az a téves hiedelem, hogy független események sorozatában a korábbi kimenetelek befolyásolják a következőt – például hogy öt vesztes fogadás után „jár” egy nyerő. Független eseményeknél a valószínűség minden kísérletnél azonos. A veszteségek „visszanyerésére” irányuló tétemelés (például a martingálrendszer) a csődkockázatot növeli, a várható értéken pedig nem javít.

Szorzómozgás (line movement)

A szorzó változása a megnyitás és a kezdés között, amelyet a beérkező fogadások, az új információk (sérülés, kezdőcsapat, időjárás) és az irodák egymáshoz igazodása mozgat. A mozgás iránya és időzítése – különösen, ha profi pénz váltja ki – maga is információ a piac értékítéletéről.

Találati arány (win rate)

A lezárt fogadások közül a nyertesek relatív gyakorisága: h = W / n, ahol a tétvisszatérítéssel zárult (push, érvénytelen) fogadások a nevezőből is kimaradnak. Önmagában nem teljesítménymutató, mert a jövedelmezőséget a szorzóval együtt határozza meg: fix tét mellett az egységnyi tétre jutó várható hozam ROI = h · o - 1, ahol o az átlagos tizedes szorzó. A nullszaldós (break-even) találati arány ennek zérushelye, h* = 1/o – vagyis a szorzó implicit valószínűsége –, így 1,50-es szorzón 66,7%, 2,00-n 50%, 2,50-en 40% szükséges a veszteségmentességhez. A 70%-os találati arány 1,50-es szorzón mindössze +5%-os megtérülést ad, 3,00-as szorzón viszont már a 40% is +20%-ot. A mért arány mintavételi hibának kitett becslés: n fogadás esetén standard hibája √(h(1 - h)/n), ezért 100 fogadásnál egy 55%-os arány 95%-os konfidenciaintervalluma nagyjából ±10 százalékpont. Megalapozott következtetést csak nagy mintán, a szorzókkal együtt és a záró szorzóhoz mért értékkel (CLV) kiegészítve lehet levonni. A táblázat a megtérülést mutatja 1,50 és 3,50 közötti szorzón, 10% és 100% közötti találati arány mellett: zöld a nyereséges, piros a veszteséges, sárga a nullszaldós tartomány.

Tizedes szorzó (decimal odds)

Európában – így Magyarországon is – szabványos szorzóformátum, amely az egységnyi tétre jutó teljes kifizetést mutatja, a tétet is beleértve: 1,91-es szorzónál 1000 Ft tét 1910 Ft-ot fizet, ebből 910 Ft a nyereség. Az implicit valószínűség egyszerűen a reciproka (1/1,91 ≈ 52,4%), ezért minden számításunkban tizedes szorzót használunk a törtes (brit) és az amerikai formátum helyett.

Tört Kelly (fractional Kelly)

A Kelly-kritérium szerinti tét rögzített c hányadát (jellemzően 0,25–0,5) megtevő tétméretezés: f = c · f*. Indoka, hogy a teljes Kelly-tét csak pontosan ismert valószínűség mellett optimális; becslési hiba esetén a túlfogadás aszimmetrikusan veszélyes, mert a növekedési ráta a Kelly-tét kétszeresénél már nullára csökken. Kis előny mellett a tört Kelly a teljes Kelly hosszú távú növekedési ütemének közelítőleg c(2 - c) részét adja, miközben a bankroll ingadozásának szórásnégyzete c²-tel arányosan csökken: a fél Kelly a növekedés kb. 75%-át a variancia negyedével éri el. 2,00-es szorzón 55%-os valószínűségnél a teljes Kelly-tét a bankroll 10%-a, a fél Kelly 5%; fogadásonkénti várható logaritmikus növekedésük 0,00501, illetve 0,00375 (az utóbbi az előbbi 74,9%-a). A professzionális gyakorlat a tört Kellyt tekinti alapértelmezésnek, a c értékét pedig a modell kalibrációjának bizonytalanságához és a vállalható visszaeséshez igazítja.

Tranzakciós költségek

Mindaz, ami a papíron kimutatott előnyt a gyakorlatban csökkenti: az árrés, a már nem elérhető vagy gyorsan elmozduló szorzók, a téthatárok, a számlakorlátozások, valamint az esetleges díjak és adók. Egy stratégia csak akkor valódi, ha a várható értéke ezek levonása után is pozitív.

Túlélési torzítás (survivorship bias)

Következtetés kizárólag a „túlélő” esetekből, a kiesettek figyelmen kívül hagyásával. A sportfogadásban tipikusan a nyilvánosan hirdetett nyerő sorozatoknál és tippadóknál jelentkezik: a veszteséges szolgáltatók eltűnnek, a látható minta így szisztematikusan felülbecsüli a sikerességet. Ellenszere a teljes, utólag nem szerkesztett eredménykimutatás.

Túlillesztés (overfitting)

Amikor a modell a tanítóadatok zaját is megtanulja, nemcsak a valódi összefüggéseket: a múltbeli adatokon kiválóan teljesít, új adatokon viszont gyengén. Fő okai a túl sok paraméter, a túl kevés adat és az ugyanazon a mintán ismételten végzett modellválasztás. Ellenszere a regularizáció, a mintán kívüli tesztelés és az előretekintő validáció.

Túlszórás és negatív binomiális eloszlás (overdispersion)

Túlszórásról akkor beszélünk, ha egy számlálási változó szórásnégyzete meghaladja a várható értékét, holott a Poisson-eloszlásnál a kettő egyenlő. Labdarúgásban a gólszám enyhe, a szögletek, lapok és a játékosstatisztikák jellemzően erős túlszórást mutatnak, mert maga a mérkőzés intenzitása is ingadozik (a paraméter heterogén). Ilyenkor a negatív binomiális eloszlás a megfelelő modell: gamma-eloszlású paraméterű Poisson-keverék, várható értéke μ, szórásnégyzete μ + μ²/r, ahol r a diszperziós paraméter; r minden határon túli növelésével a Poisson-eloszlás határesetként adódik. Ha egy mérkőzéstípus összes gólszáma 2,6-os átlag mellett 3,1-es szórásnégyzetet mutat, r = μ²/(σ² - μ) ≈ 13,52, és a gól nélküli találkozó valószínűsége a Poisson-modell 7,43%-a helyett 9,27%. A túlszórás figyelmen kívül hagyása a szélső kimeneteleket – a nagyon alacsony és a nagyon magas értékeket – alulárazza, ami a gólszám-, szöglet- és lapszámpiacok szélső vonalain szisztematikus hibához vezet.

Várható érték (EV)

Egy fogadás átlagos eredménye, ha ugyanolyan feltételek mellett végtelen sokszor megismételnénk. Egységnyi tétre: EV = p · o - 1, ahol p a kimenetel valódi (becsült) valószínűsége, o a tizedes szorzó. Például 58,4%-os becsült valószínűség és 1,82-es szorzó mellett EV = 0,584 · 1,82 - 1 ≈ +6,3%. A pozitív várható értékű (+EV) fogadás hosszú távon nyereséges, egyetlen kimenetelről azonban semmit sem árul el.

Várható gólok (xG, expected goals)

Annak valószínűsége, hogy egy adott lövési helyzetből gól születik, a lövés helye, szöge és típusa, valamint a támadás jellege alapján, nagyszámú múltbeli lövésen tanított modellel becsülve. Egy mérkőzés xG-értéke a kialakított helyzetek összegzett minősége. Mivel a gól ritka és erősen zajos esemény, az xG gyorsabban és megbízhatóbban mutatja egy csapat valódi támadó- és védekezőerejét, mint a lőtt gólok száma – de csak megfelelő mintán, és a forrástól függő módszertani eltérésekkel.

Variancia

A kimenetelek várható érték körüli szóródásának mértéke (a szórás négyzete). Egy egység tétű fogadásnál, p nyerési valószínűség és o tizedes szorzó mellett a nettó eredmény varianciája Var = p(1 - p)o². A magasabb szorzók nagyobb varianciával járnak: azonos várható érték mellett hosszabb vesztes sorozatokat és mélyebb visszaeséseket kell kibírni.

Vigorish (Vig)

A fogadóiroda jutaléka: a megforgatott tét (forgalom) azon hányada, amelyet az iroda kiegyensúlyozott könyv mellett a mérkőzés kimenetelétől függetlenül megtart. Elnevezése az orosz vyigrysh („nyeremény”) szóból ered, jiddis közvetítéssel; az angol szakzsargon juice néven is ismeri. Ha egy piac n kimenetelének tizedes szorzói o_i, implicit valószínűségeik összege pedig S = Σ_i 1/o_i, akkor az 1/(o_iS) arányban elosztott tétek bármely eredmény mellett azonos, 1/S kifizetést adnak, így a vigorish V = 1 - 1/S = (S - 1)/S. Nem azonos a túlárazással (overround, S - 1), mert az utóbbi az implicit valószínűségek összegéhez, a vigorish a megforgatott téthez viszonyít, ezért mindig kisebb annál. Egy 2,10 – 3,40 – 3,60-as 1X2 piacon S ≈ 1,0481: a túlárazás 4,81%, a vigorish 4,59%. Ha az árrés arányosan terheli a kimeneteleket, a valódi valószínűség q_i = (1/o_i) / S (a példában 45,43%, 28,06% és 26,50%), és bármely kimenetelre az egységnyi tét várható hozama o_iq_i - 1 = 1/S - 1 = -V: a vigorish tehát az információs előny nélkül, piaci áron fogadó játékos egységnyi tétre jutó várható vesztesége. Pozitív várható értékhez a modell-valószínűségnek a valódi valószínűség S-szeresét kell meghaladnia, p_i > S · q_i = 1/o_i; a példa hazai győzelmén ez 45,43% helyett legalább 47,62%. Kötésben a jutalék multiplikatívan halmozódik: k független, azonos S mellett árazott láb várható hozama S^-k - 1, ami a fenti piacon öt lábbal ≈ -20,9%. A valóságban az árrés nem egyenletesen oszlik meg: a kedvenc–esélytelen torzítás miatt jellemzően az esélytelenebb kimeneteleket terheli jobban, ezért a pontosabb levezetés Shin-modellel vagy hatványmódszerrel történik. Mértéke a piac likviditásától függ – a nagy forgalmú főpiacokon alacsonyabb, a mellékpiacokon, az élő fogadásban és a pontos végeredmény piacán magasabb –, így azonos előny mellett a nettó hozamot az is meghatározza, milyen jutalékszintű piacon fogadunk.

Visszaesés (drawdown)

A bankroll csökkenése a legutóbbi csúcsértékhez képest, egészen a következő új csúcs eléréséig, jellemzően százalékban vagy egységben kifejezve. A maximális visszaesés a kockázat egyik legfontosabb mérőszáma: pozitív várható értékű stratégia mellett is elkerülhetetlen, mélysége és hossza pedig elsősorban a szorzók szintjétől és a tétmérettől függ. Aki nem számol előre a visszaesésekkel, az épp a legrosszabb pillanatban tér el a módszertől.

Visszatesztelés (backtesting)

Egy modell vagy stratégia teljesítményének becslése múltbeli szorzókon és eredményeken, mielőtt valós tőkét kockáztatnánk vele. Csak akkor informatív, ha a modell kizárólag az adott időpontban ténylegesen elérhető információt használja: a jövőbeli adatok „visszaszivárgása” (look-ahead bias) a leggyakoribb és legdrágább hiba.

Záró szorzóhoz mért érték (CLV, closing line value)

A fogadáskor elért szorzó összevetése a záró szorzóval – a piac utolsó, a legtöbb információt magában foglaló, kezdés előtti árával. Valószínűségben kifejezve: CLV = q_z - 1/o, ahol q_z a záró szorzóból levezetett, árréstől megtisztított valószínűség, o a megtett szorzó; az eredményt százalékpontban adjuk meg. Gyakori az arányos alak is, o · q_z - 1, amely a fogadás záró áron mért várható értéke. A pozitív érték azt jelenti, hogy jobb áron fogadtunk, mint ahová a piac végül beállt. Nagy mintán a tartósan pozitív CLV az ismételhető előny legmegbízhatóbb egyedi mutatója, mert jóval kisebb szórású, mint a nyereség.